关于平行四边形教案汇总3篇(汇总丰富多彩的平行四边形教案，轻松掌握它的魅力！)

平行四边形作为初中数学的重要知识点，教学中需要注重综合能力的提高。因此，平行四边形教案的设计十分关键。本文将为大家汇总一些优秀的平行四边形教案，希望对广大教师有所帮助。

第1篇

１、经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程，发展有条理的思考及语言表达能力。

某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米，用两种方法表示这块林区现在的面积。

这块林区现在的长为 米，宽为 米。因而面积为________米2。

还可以把这块林地分为四小块，它们的面积分别为 米2， 米2，_______米2， 米2。故这块地的面积为 。

如果把（m+n）看作一个整体，你还能用别的方法得到这个等式吗？

1、某酒店的厨房进行改造，在厨房的中间设计一个准备台，要求四面的过道宽都为x米，已知厨房的长宽分别为8米和5米，用代数式表示该厨房过道的总面积。

当今数学已经渗入到整个社会的各个领域，因此，应用数学去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活问题，成为各类数学竞赛的一个热点．

应用性问题能引导学生关心生活、关心社会，使学生充分到数学与自然和人类社会的密切联系，增强对数学的理解和应用数学的信心．

解答应用性问题，关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，将其转化为数学模型．其求解程序如下：

在初中范围内常见的数学模型有：数式模型、方程模型、不等式模型、函数模型、平面几何模型、图表模型等．

数与式是最基本的数学语言，由于它能够有效、简捷、准确地揭示数学的本质，富有通用性和启发性，因而成为描述和表达数学问题的重要方法．

?例1】(20xx年安徽中考题)某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变。有关数据如下表所示：

（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平。问风景区是怎样计算的？

（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%。问游客是 怎样计算的？

（3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？

研究和解决生产实际和现实生恬中有关问题常常要用到方程

?例2】 (重庆中考题)某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2min内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4mln内可以通过800名学生．

(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?

(2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20％．安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5min内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门整否符合安全规定?请说明理由．

思路点拨 列方程(组)的关键是找到题中等量关系：两种测试中通过的学生数量．设未知数时一般问什么设什么．“符合安全规定”之义为最大通过量不小于学生总数．

(1)设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生，由题意得：

现实世界中的不等关系是普遍存在的，许多问题有时并不需要研究它们之间的相等关系，只需要确定某个量的变化范围，即可对所研究的问题有比较清楚的认识．

?例3】 (苏州中考题)我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内月平均的风速不小于3m／s的时间共约160天，其中日平均风速不小于6m／s的时间占60天．为了充分利用“风能”这种“绿色资源”，该地拟建一个小型风力发电场，决定选用a、b两种型号的风力发电机，根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表：一天的发电量)如下表：

(1)若这个发电场购x台a型风力发电机，则预计这些a型风力发电机一年的发电总量至少为 千瓦?时；

(2)已知a型风力发电机每台o.3万元，b型风力发电机每台o.2万元．该发电场拟购置风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电场每年的发电总量不少于102000千瓦?时，请你提供符合条件的购机方案．

故可购a型发电机5台，b型发电机5台；或购a型发电机6台，b型发电视4台．

函数类应用问题主要有以下两种类型：(1)从实际问题出发，引进数学符号，建立函数关系；(2)由提供的基本模型和初始条件去确定函数关系式．

?例4】 (扬州)杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润杨”报刊零售点．对经营的某种晚报，杨嫂提供丁如下信息：

②一个月内(以30天计)，有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份；

③一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同．当天卖不掉的报纸，以每份0.10元退回给报社；

(2)设每天从报社买进该种晚报x份，120≤x≤200时，月利润为y元，试求出y与x的函数关系式，并求月利润的最大值．

故y=x+240，(120≤x≤200)， 当x=200时，月利润y的最大值为440元．

注 根据题意，正确列出函数关系式，是解决问题的关键，这里特别要注意自变量x的取值范围．

?例5】 (桂林市)某公司需在一月(31天)内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．

（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．

(2)如果请甲工程队施工，公司每日需付费用200 0元；如果请乙工程队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：a．请甲队单独完成此项工程；b．请乙队单独完成此项工 程； c．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上方案哪一种花钱最少?

思路点拨 这是一道策略优选问题．工程问题中：工作量=工作效率×工时．

(1)设乙工程队单独完成此项工程需x天，根据题意得：

所以，甲工程队单独完成此项工程需用20天，乙队需30天．

?例6】 (2全国联赛初赛题)一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天17km的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km后回到出发点，试问：科学考察队的生态区考察了多少天?

设考察队到 生态区去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，则x+y+z=60，

这里x、y是正整数，现设 法求出①的一组合题意的解，然后计算出z的值．

为此，先求出①的一组特殊解(x0，y0)，(这里x0，y0可以是负整数)．用辗转相除法．

25=l ×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3 ×17-2×25．

由不定方程的知识可知，①的一切整数解可表示为x=－3+25t，y=－2+17t，

注 本题涉及到的未知量多，最终转化为二元一次不定方程来解，希读者仔细咀嚼所用方法．

?例7】 (江苏省第17届初中竞赛题)华鑫超市对顾客实行优惠购物，规定如下：

(2)若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；

(3)若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折 优惠．

小明两次去该超市购物，分别付款198元与554元．现在小亮决定一次去购 买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少?

第一次付款198元，可是所购物品的实价，未 享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款．故应分两种情况加以讨论．

情形1 当198元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为198元 ．

又554=450+104，其中450元为购物500元打九折付的钱，104元为购物打八折付的钱；104÷0. 8 =130(元)．

因此，554元所购物品的原价为130+500=630(元)，于是购买小呀花198 +630=828(元)所购的全部物品，小亮一次性购买应付500×0.9+(828－500)×0.8=712.4（元）．

情形2 当198元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为198 ÷0.9=220(元) ．仿情形1的讨论，，购220+630=850{元}物品一次性付款应为500×0.9+(850－500)×0.8=730(元)．

综上所述，小亮一次去超市购买小明已购的同样多的物品，应付款712.40元或730元

?例8】 (20xx年全国数学竞赛题)某项工程，如果由甲、乙两队承包，2 天完成，需180000元；由乙、丙两队承包，3 天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，2 天完成，需付160000元．现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少?

思路点拨 关键问题是甲、乙、丙单独做各需的天数及独做时各方日付工资．分两个层次考虑：

而丙队不能在一周内完成．所以由乙队承包费用最少．

1．(河南)在防治“sars”的战役中，为防止疫情扩散，某制药厂接到了生产240箱过氧乙酸消毒液的任务．在生产了60箱后，需要加快生产，每天比原来多生产15箱，结果6天就完成了任务．求加快速度后每天生产多少箱消毒液?

2．(山东省竞赛题)某市为鼓励节约用水，对自来水妁收费标准作如下规定：每月每户用水中不超过10t部分按0.45元／吨收费；超过10t而不超过20t部分按每吨0.8元收费；超过20t部分按每吨1.50元收费，某月甲户比乙户多缴水费7.10元，乙户比丙户多缴水费3.75元，问甲、乙、丙该月各缴水费多少?(自来水按整吨收费)

3．(江苏省竞赛题)甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题．试问：难题多还是容易题多?多的比少的多几道题?

4．某人从a地到b地乘坐出租车有两种方案，一种出租车收费标准是起步价10元，每千米1.2元；另一种出租车收费标准是起步价8元，每千米1.4元，问选择哪一种出租车比较合适?

(提示：根据目前出租车管理条例，车型不同，起步价可以不同，但起步价的最大行驶里程是相同的，且此里程内只收起步价而不管其行驶里程是多少)

1．(全国初中数学竞赛题)江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40min可抽完；如果用4台抽水机抽，16min可抽完．如果要在10min抽完水，那么至少需要抽水机 台．

2．(希望杯)有一批影碟机(vcd)原售价：800元／台．甲商场用如下办法促销：

乙商场用如下办法促销：每次购买1~8台，每台打九折；每次购买9~16台，每台打八五折； 每次购买17~24台，每台打八折；每次购买24台以上，每台打七五折．

（1）请仿照甲商场的促销列表，列出到乙商场购买vcd的购买台数与每台价格的对照表；

(2)现在有a、b、c三个单位，且单位要买10台vcd，b单位要买16台vcd，c单位要买20台vcd，问他们到哪家商场购买花费较少?

3．(河北创新与知识应用竞赛题)某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，且每种硬币不少于20枚，5分的硬币要多于2分的硬币．请你据此设计兑换方案．

4．从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶)，如果男孩和女孩都做匀速运动且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍，已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达扶梯顶部(设男孩、女孩每次只踏—级)．问：

(2)如果扶梯附近有一从二楼到一楼的楼梯，楼梯的级数和扶梯的级数相等，两孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘扶梯(不考虑扶梯与楼梯间距离)则男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶?

5．某化肥厂库存三种不同的混合肥，第一种 含磷60％，钾40％，第二种含钾10％，氮90％；第三种含钾50％，磷20％，氮30％，现将三种肥混合成含氮45％的混合肥100?(每种肥都必须取)，试问在这三种不同混合肥的不同取量中，新混合肥含钾的取值范围．

6．(黄冈竞赛题)有麦田5块a、b、c、d、e，它们的产量，(单位：吨)、交通状况和每相邻两块麦田的距离如图21-2所示，要建一座永久性打麦场，这5块麦田生产的麦子都在此打场．问建在哪快麦田上(不允许建在除麦田以外的其他地方)才能使总运输量最小?图中圆圈内的数字为产量，直线段上的字母a、b、d表示距离，且b

边、角、对角线是多边形中最基本的概念，求多边形的边数 、内外角度数、对角线条数是解与多边形相关的基本问题，常用到三角形内角和、多边形内、外角和定理、不等式、方程等知识．

多边形 的内角和定理反映出一定的规律性：(n－2)×180°随n的变化而变化；而多边形的外角和定理反映出更本质的规律；360°是一个常数，把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形有关问题的常用技巧．

将多边形问题转化为三角形问题来处理是解多边形问题的基本策略，连对角线或向外补形、对内分割是转化的常用方法，从凸 边形的一个顶点引出的对角线把 凸 边形分成 个多角形，凸n边形一共可引出 对角线．

?例1】在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为20xx°，则这个多边形的边数是 ．

思路点拨 设除去的角为°，y°，多边形的边数 为 ，可建立关于x、y的不定方程；又0°

链接 世界上的万事万物是一个不断地聚合和分裂的过程，点是几何学最原始的概念，点生线、线生面、面生体，几何元素的聚合不断产生新的图形，另一方面，不断地分割已有的图形可得到新的几何图形，发现新的几何性质，多边形可分成三角形，三角形可以合成其他

?例2】 在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是( )

思路点拨 多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，而外角和却总是不变的.，因此，可把内角为锐角的个数讨论转化为 外角为钝角的个数的探讨．

?例3】 如图，已知在△abc中，ab＝ac，ad⊥bc于d，且ad=bc=4，若将此三角形沿ad剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四边形吗?画出所拼四边形的示意图(标出图中直角)，并分别写出所拼四边形的对角线的长．

思路点拨 把动手操作与合情想象相结合 ，解题的关键是能注意到重合的边作为四边形对角线有不同情形．

注 教学建模是当今教学教育、考试改革最热门的一个话题，简单地说，“数学建模”就是通过数学化(引元、画图等)把实际问题特化为一个数学问题，再运用相应的数学知识方法(模型)解决问题．

本例通过设元，把“没有重叠、没有空隙”转译成等式，通过不定方程求解．

?例4】 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌)，这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形．

(2)如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?

(3)从正三角形、正四边形，正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图)；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面 图形?说明你的理由．

思路点拨 本例主要研究两个问题：①如果限用一种正多边形镶嵌，可选哪些正多边形；②选用两种正多边形镶嵌，既具有开放性，又具有探索性．假定正n边形满足铺砌要求，那么在它的顶点接合的地方，n个内角的和为360°，这样，将问题的讨论转化为求不定方程的正整数解．

?例5】 如图，五边形abcde的每条边所在直线沿该边垂直方向向外平移4个单位，得到新的五边形a'b'c'd'e'．

（1）图中5块阴影部分即四边形aha'g、bfb'p、coc'n、dmd'l、eke'i能拼成一个五边形吗?说明理由．

(2)证明五边形a'b'c'd'e'的周长比五边形abcd正的周长至少增加25个单位．

思路点拨 (1)5块阴影部分要能拼成一个五边形须满足条件：，a'gb'； b'pc'； c'nd'；d'le'；e'ia'三点分别共线；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°；(2)增加的周长等于a'h+a'g+b'f+b'p+c'o+c'n+d'm+d'l+e'k+e'i，用圆的周长逼近估算．

1．如图，用硬纸片剪一个长为16cm、宽为12cm的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是 ?，周长最小的是 cm．

3．如图，abcd是凸四边形，ab=2，bc=4，cd=7，则线段ad的取值范围是 ．

4．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：

5．凸n边形中有且仅有两个内角为钝角，则n的最大值是( )

6．一个凸多边 形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是( )

7．有一个边长为4m的正六边形客厅，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖( )

8．已知△abc是边长为2的等边三角形，△acd是一个含有30°角的直角三角形，现将△abc和△acd拼成一个凸四边形abcd．

9．如图，四边形abcd中，ab＝bc＝cd，∠abc=90°，∠bcd＝150°，求∠bad的度数．

10．如图，在五边形a1a2a3a4a5中，bl是a1的对边a3a4的中点，连结a1b1，我们称a1b1是这个五边形的一条中对线，如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分，求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行．

11．如图，凸四边形有 个；∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g= ．

12．如图，延长凸五边形a1a2a3a4a5的各边相交得到5个角，∠b1，∠b2，∠b3，∠b4，∠b5，它们的和等于 ；若延长凸n边形(n≥5)的各边相交，则得到的n个角的和等于 ．

13．设有一个边长为1的正三角形，记作a1(图a)，将每条边三等分，在中间的线段上向外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作a 2(图b)，再将每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作a3(图c)；再将每条边三 等分，并重复上述过程，所得到的图形记作a4，那么，a4的周长是 ；a4这个多边形的面积是原三角形面积的 倍．

14．如图，六边形abcdef中，∠a=∠b=∠c=∠d=∠e=∠f，且ab+bc=11，fa—cd=3，则bc+dc= ． (北京市竞赛题)

15．在一个n边形中，除了一个内角外，其余(n一1)个内角的和为2750°，则这个内角的度数为( )

16．如图，四边形abcd中，∠bad=90°，ab=bc=2 ，ac=6，ad=3，则cd的长为( )

注 按题中的方法'不断地做下去，就会成为下图那样的图形，它的边界有一个美丽的名称——雪花曲线或 科克曲线(瑞典数学家)，这类图形称为“分形”，大量的物理、生物与数学现象都导致分形，分形是新兴学科“混沌”的重要分支．

18．平面上有a、b，c、d四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△abc、△abd、△acd、△bdc中至少有一个三角形的内角不超过45°．

19．一块地能被n块相同的正方形地砖所覆盖，如果用较小的相同正方形地砖，那么需n+76块这样的地砖才能覆盖该块地，已知n及地砖的边长都是整数，求n． (上海市竞赛题)

20．如图，凸八边形abcdefgh的8 个内角都相等，边ab、bc、cd、de、ef、fg的长分别为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长．

21．如图l是一张可折叠的钢丝床的示意图，这是展开后支撑起来放在地面上的情况，如果折叠起来，床头部分被折到了床面之下(这里的a、b、c、d各点都是活动的)，活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性设计而成的，其折叠过程可由图2的变换反映出来．

如果已知四边形abcd中，ab=6，cd=15，那么bc、ad取多长时，才能实现上述的折叠变化?

22．一个凸n边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸n边形各个内角的大小，并画出这样的 凸n边形的草图．

前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科．

几何变换是指把一个几何图形fl变换成另一个几何图形f2的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换．

如图1，若把平面图形fl上的各点按一定方向移动一定距离得到图形f2后，则由的变换叫平移变换．

平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等．

如图2，若把平面图fl绕一定点旋转一个角度得到图形f2，则由fl到f2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角．

旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等．

通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决．

注 合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换．等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变'而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变．

?例1】如图，p为正方形abcd内一点，pa：pb：pc＝1：2：3，则∠apd= ．

思路点拨 通过旋转，把pa、pb、pc或关联的线段集中到同一个三角形．

?例2】 如图，在等腰rt△abc的斜边ab上取两点m，n，使∠mcn=45°，记am＝m，mn= x，dn=n，则以线 段x、m、n为边长的三角形的形状是( )

思路点拨 把△acn绕c点顺时针旋转45°，得△cbd，这样∠acm+∠bcn=45°就集中成一个与∠mcn相等的角，在一条直线上的m、 x、n 集中为△dnb，只需判定△dnb的形状即可．

(1)图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；

(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；

(3)图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．

?例3】 如图，六边形adcdef中，an∥de，bc∥ef，cd∥af，对边之差bc－ef＝ed?ab＝af?cd>0，求证：该六边形的各角相等．

思路点拨 设法将复杂的条件bc?ff=ed?ab=af?cd>0用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换．

注 平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决．

?例4】 如图，在等腰△abc的两腰ab、ac上分别取点e和f，使ae=cf．已知bc=2，求证：ef≥1． (西安市竞赛题)

思路点拨 本例实际上就是证明2ef≥bc，不便直接证明，通过平移把bc与ef集中到同一个三角形中．

(2)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

(3)同一个三角形中大边对大角(大角对大边)，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

?例5】 如图，等边△abc的边长为 ，点p是△abc内的一点，且pa2+pb2＝pc2，若pc=5，求pa、pb的长． (“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 题设条件满足勾股关系pa2+pb2＝pc2的三边pa、pb、pc不构成三角形，不能直接应用，通过旋转变换使其集中到一个三角形中，这是解本例的关 键．

1．如图，p是正方形abcd内一点，现将△abp绕点b顾时针方向旋转能与△cbp′重合，若pb=3，则pp′= ．

2．如图，p是等边△abc内一点，pa＝6，pb=8，pc＝10，则∠apb ．

3．如图，四边形abc d中，ab∥cd，∠d=2∠b，若ad=a，ab=b，则cd的长为 ．

4．如图，把△abc沿ab边平移到△a'b'c'的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△abc的面积的一半，若ab= ，则此三角形移动的距离aa'是( )

5．如图，已知△abc中，ab=ac，∠bac=90°，直角epf的顶点p是bc中点，两边pe、pf分别交ab、ac于点c、f，给出以下四个结论：①ae=cf；②△epf是等腰直角三角形；③s四边形aepf= s△abc；④ef=ap．

当∠epf在△abc内绕顶点p旋转时(点e不与a、b重合)，上述结论中始终正确的有( )

6．如图，在四边形 abcd中，ab＝bc，∠abc=∠cda=90°，be⊥ad于e， s四边形abcd d=8，则be的长为( )

7．如图，正方形abcd和正方形efgh的边长分别为 和 ，对角线bd、fh都在直线 上，o1、o2分别为正方形的中心，线段o1o2的长叫做两个正方形的中心距，当中心o2在直线 上平移时，正方形efgh也随之平移，在平移时正方形efgh的形状、大小没有变化．

(2)当中心o2在直线 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距o1o2= ；

(3)随着中心o2在直线 上平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程)． (徐州市中考题)

8．图形的操做过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直 方向的边长均为b）：

在图a中，将线段a1a2向右平移1个单位到b1b2,得到封闭图形a1a2b1b2（即阴影部分）；

在图b中， 将折线a1a2a3向右平移1个单位到b1b2b3，得到封闭图形a1a2a3b1b2b3（即阴影部分）；

（1）在图c中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影；

（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：s1= ，,s2= ，s3= ；

如图d，在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．

9．如图，已知点c为线段ab上一点，△acm、△cbn是等边三角形，求证：an＝bm．

说明及要求：本题是《几何》第二册几15中第13题，现要求：

(1)将△acm绕c点按逆时针方向旋转180°，使a点落在cb上，请对照原题图在图中画出符合要求的图形(不写作法，保留作图痕迹)．

(2)在①所得的图形中，结论“an＝bm”是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

(3)在①得到的图形中，设ma的延长线与bn相交于d点，请你判断△abd与四边形mdnc的形状，并证明你的结论．

10．如图，在rt△abc中，∠a＝90°，ab＝3cm，ac=4cm，以斜边bc上距离b点3cm的点p为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△def，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是 cm2．

11．如图，在梯形abcd中，ad∥bc，∠d=90°，bc=cd=12，∠abe=45°，点e在dc上，ae、bc的延长线交于点f，若ae=10，则s△ade+s△cef的值是 ．

12．如图，在△abc中，∠bac=120°，p是△abc内一点，则pa+pb+pc与ab+ac的大小关系是( )

13．如图，设p到等边三角形abc两顶点a、b的距离分别为2、3，则pc所能达到的最大值为( )

14．如图，已知△abc中，ab=ac，d为ab上一点，e为ac 延长线上一点，bd=ce，连de，求证：de>dc．

15．如图，p为等边△abc内一点，pa、pb、pc的长为正整数，且pa2+pb2=pc2，设pa=m，n为大于5的实数，满 ，求△abc的面积．

16．如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河， ∥ 表示小河甲， ∥ 表示小河乙，a为校本部大门，b为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，a到甲河垂直距离为40米，b到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，a、b两点水平距离(与小河平行方向)120米，为使a、b两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时a、d两点间来往的路程是多少米? (“五羊杯”竞赛题)

17．如图，△abc是等腰直角三角形，∠c=90°，o是△abc内一点，点o到△abc各边的距离都等于1，将△abc绕 点o顺时针旋转45°，得△a1blc1 ，两三角形公共部分为多边形klmnpq．

18．(1)操作与证明：如图1，o是边长为a的正方形acbd的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在o点处，并将纸板绕o点旋转，求证：正方形abcd的边被纸板覆盖部分的总长度为定值．

(2)尝试与思考：如图2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或正五边形的中心o点处，并将纸板绕o点旋转， 当扇形纸板的圆心角为 时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为 时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．

(3)探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心o点处，并将纸板绕o点旋转．当扇形纸板的圆心角为 时，正n边形的边被纸板覆盖部分 的总长度为定值a；这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值，写出它与正n边形面积s之间的关系；若不是定值，请说明理由．

第2篇

1．能运用勾股定理解决生活中与直角三角形有关的问题；

2．能从实际问题中建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，同时渗透方程、转化等数学思想。

3．进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值

1.如图，单杠ac的高度为5m，若钢索的底端b与单杠底端c的距离为12m，求钢索ab的长.

欣赏生活中含有直角三角形的图片，如果知道斜拉桥上的索塔ab的高，如何计算各条拉索的长？

活动一 如图，起重机吊运物体，已知bc=6m,ac=10m,求ab的长.

活动二 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？

活动三 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？

1.《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70km/h，如图一辆小汽车在一条城市中的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，这辆小汽车超速了吗？

2.一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部地面半径为2.5cm，高为12cm，吸管斜置于杯中，并在杯口外面至少露出4.6cm，问吸管需要多长？

1．(1)在rt△abc中，∠c=90°,若bc=4,ac=2,则ab=______;若ab=4,bc=2,则ac=_____;

(2)一个直角三角形的模具，量得其中两边的`长分别为5cm，3cm，则第三边的长是______;

(3)甲乙两人同时从同一地出发，甲往东走4km，乙往南走6km，这时甲乙两人相距____km.

2．如图，圆柱高为8cm，地面半径为2cm ,一只蚂蚁从点a爬到点b处吃食，要爬行的最短路程（ 取3）是 ( )

3.如图，笔直的公路上a、b两点相距25km，c、d为两村庄，da⊥ab于点a，cb⊥ab于点b，已知da=15km，cb=10km，现在要在公路的ab段上建一个土特产品收购站e，使得c、d两村到收购站e的距离相等，则收购站e应建在离a点多远处？

线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是：

?例1】 如图，在△abc中，∠b=2∠c，ad⊥bc于d，m为bc的中点， ab=10cm，则md的长为 ．

思路点拨 取ab中点n，为直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理的运用创造条件．

注 证明线段倍分关系是几何问题中一种常见题型，利用中点是一个有效途径，基本方法有：

?例2】 如图，在四边形abcd中，一组对边ab=cd，另一组对边ad≠bc，分别取ad、bc的中点m、n，连结mn．则ab与mn的关系是( )

思路点拨 中点m、n不能直接运用，需增设中点，常见的方法是作对角线的中点．

?例3】如图，在△abc中，ab=ac，延长ab到d，使bd＝ab，e为ab中点，连结ce、cd，求证：c d=2ec．

思路点拨 联想到与中位线相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，解题的关键是恰当添辅助线．

?例4】 已知：如图l，bd、ce分别是△abc的外角平分线，过点a作af⊥bd，ag ⊥ ce，垂足分别为f、g，连结fg，延长af、ag，与直线bc相交，易证fg= (ab+bc+ac)．

(2)bd为△abc的内角平分线，ce为△abc的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段fg与△abc三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．

思路点拨 图1中fg与△abc三边的数量关系的求法(关键是作辅助线)，对寻求后两个图形中线段fg与△abc三边的数量关系起着重要作用，而由平分线、垂线发现中点，这是解题的基础．

注 三角形与梯形的中位线．在位置上涉及到平行，在数量上是上下底和的一半，它起着传递角的位置关系和线段长度的功能，在证明线段倍分关系、两直线位置关系、线段长度的计算等方面有着广泛的应用．

?例5】 如图，任意五边形abcde，m、n、p、q分别为ab、cd、bc、de的中点，k、l分别为mn、pq的中点，求证：kl∥ae且kl= ae．

思路点拨 通过连线，将多边形分割成三角形、四边形，为多个中点的 利用创造条件，这是解本例的突破口．

注 需要什么，构造什么，构造基本图形、构造线段的和差(倍分)关系、构造角的关系等，这是作辅助线的有效思考方法之一．

1．bd、ce是△abc的中线，g、h分别是be、cd的中点，bc=8，则gh= ．

2．如图,△abc中、bc＝a，若d1、e1；分别是ab、ac的中点，则 ；若 d2、e2分别是d1b、e1c的中点，则 ：若 d3、e3分别是d2b、e2c的中点.则 ……若dn、en分别是dn-1b、en-1c的中点，则dnen= (n≥1且 n为整数).

3．如图，△abc边长分别为ad=14，bc=l6，ac=26，p为∠a的平分线ad上一点，且bp⊥ad，m为bc的中点，则pm的值是 ．

4．如图， 梯形abcd中，ad∥bc，对角线ac⊥bd，ac=5cm，bd=12cm，则该梯形的中位线的长等于 cm．

5．如图，在梯形abcd中，ad∥ef∥gh∥bc，ae=eg=gb=ad=18，bc=32，则ef+gh=( )

6．如图，在梯形abcd中，ad∥bc，e、f分别是对角线bd、ac的中点，若ad=6cm，bc=18?，则ef的长为( )

7．如图，矩形纸片abcd沿df折叠后，点c落在ab上的e点，de、df三等分∠adc，ab的长为6，则梯形abcd的中位线长为( )

8．已知四边形abcd和对角线ac、bd，顺次连结各边中点得四边形mnpq，给出以下6个命题：

9．如图，已知△abc中，ad是 高，ce是中线，dc=be，dg⊥ce，g为垂足．求证：(1)g 是ce的 中点；(2)∠b=2∠bce．

10．如图，已知在正方形abcd中，e为dc上一点，连结be，作cf⊥be于p，交ad于f点，若恰好使得ap=ab，求证：e是dc的中点．

11．如图，在梯形abcd中，ab∥cd，以ac、ad为边作平行四边形aced，dc的延长线交be于f．

(2)s△bce能否为s梯形abcd的 ?若不能，说明理由；若能，求出ab与cd的关系．

12．如图，已知ag⊥bd，af⊥ce，bd、cf分别是∠abc和∠acb的角平分线，若bf=2，ed=3，gc=4，则△abc的周长为 ．

13．四边形adcd的对角线ac、bd相交于点f，m、n分别为ab、cd中点，mn分别交bd、ac于p、q，且∠fpq＝∠fqp，若bd=10，则ac= ．

1 4．四边形abcd中，ad>bc，c、f分别是ab、cd的中点，ad、bc的延长线分别与ef的延长线交于h、g，则∠ahe ∠bge(填“>”或“=”或“

15．如图，在△abc中，dc=4，bc边上的中线ad=2，ab+ac=3+ ，则s△abc等于( )

16．如图，正方形abcd中，ab＝8，q是cd的中点，设∠daq=α，在cd上取一点p，使∠bap＝2α，则cp的长是( )

17．如图，已知a为de的中点，设△dbc、△abc、△ebc的面积分别为s1，s2，s3，则s1、s2、s3之间的关系式是( )

18．如图，已知在△abc中，d为ab的中点，分别延长ca、cb到e、f，使de=df，过e、f分别作ca、 cb的垂线，相交于点p．求证：∠pae=∠pbf．

19．如图，梯形abcd中，ad∥bc，ac⊥bd于o，试判断ab+cd与ad+bc的大小，并证明你的结论．

20．已知：△abd和△ace都是直角三角形，且∠abd=∠ace=90°．如图甲，连结de，设m为d正的中点．

(2)设∠bad=∠cae，固定△abd， 让rt△ace绕顶点a在平面内旋转到图乙的位置，试问：mb；mc是否还能成立?并证明其结论．

21．如图甲，平行四边形abcd外有一条直线mn，过a、b、c、d4个顶点分别作mn的垂线aa1、bb1、ccl、ddl，垂足分别为al、b1、cl、d1．

(2)如图乙，直线mn向上移动，使点a与点b、c、d位于直线mn两侧，这时过a、b、c、d向直线mn引垂线，垂足分别为al、b1、cl、d1，那么aa1、bb1、ccl、ddl 之间存在什么关系?

第3篇

义务教育课程标准实验教科书苏教版一年级下册19～21页。

1．紧密联系学生已有经验，通过丰富的学习活动，帮助学生直观认识常见的平面图形。教材通过折正方形纸，让学生直观认识三角形，把两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，直观地认识平行四边形。这样安排，既符合低年级学生的认知特点，也有利于他们主动地认识平面图形。

2．把图形的变换，图形间的联系放在重要位置。教材只要求学生直观认识三角形、平行四边形，没有深入研究它们的特征。但是教材安排了许多折、剪、拼的活动，比较多地将一种图形变换成另一种图形。这些操作活动，能使学生感受图形之间的联系，有利于培养学生空间观念和解决问题的能力，有利于发展学生的数学思维。

3．教材设计了一些开放性问题，如在钉子板上围三角形、平行四边形，围成的这些图形可以有大有小，有不同的位置，用一个长方形剪成两个完全一样的三角形拼一拼，可以拼成多种图形。这些题能激起学生独立探索的精神，相互合作的愿望，有利于改善教学方式，培养学生的创新意识。

1．通过把长方形成或正方形折、剪、拼等活动，直观认识三角形和平行四边形，知道三角形和平行四边形的名称，并能识别三角形、平行四边形，初步了解三角形、平行四边形在日常生活中的应用。

2．在折图形、剪图形、摆图形、拼图形等活动中，使学生体会图形的变换，发展对图形的空间想像能力。

3．使学生在学习活动中积累对数学的兴趣，增强与同学的交往、合作的意识。

教学重点与难点：从三角形、平行四边形实物中抽象出平面图形，并让学生正确认识它们。

教具准备：长方形、正方形纸各一张，不同形状的三角形、平行四边形若干个，剪刀一把，钉子板和20页上半页的图片。

学具准备：长方形纸、正分形纸、直角三角形纸若干张、剪刀、学具盒。

小朋友，你们喜欢折纸吗?你们想折吗？今天老师就和你们一起玩折纸游戏好吗?

(1)教师手中拿的是什么图形的纸?(正方形纸)请小朋友们拿出和老师手中一样的正方形纸，你能把这张正方形的纸对折成完全一样的两部分吗?(教师巡视，如有学生对对折不理解要及时指导。)

①对折成两个完全一样的长方形。（这是我们已经认识的)

②对折两个完全一样的三角形。(贴出图形)问：这是什么图形?(板书：三角形)

③让所有小朋友用正方形纸折出两个完全一样的三角形。用小手摸一摸折出的'三角形的面，再沿着这个三角形的边画一画，然后拿走折纸剩下△，让学生闭上眼睛想一想三角形的样子，并用手书空画出来。

[评析：让学生建立图形表象是教学的重点，教者通过折、摸、画、想、手书空画等系列活动，使学生对三角形有了初步的空间表象，可谓水到渠成。]

分别出示锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形、等边三角形，让学生认一认，说明这些都叫三角形，让学生记住它们的样子。

同桌互相说一说，然后在全班交流。当学生说到红领巾、三角尺等身边有的物体时，让学生摸着红领巾、三角尺的面说：红领巾的面是三角形的，三角尺的面是三角形的。

你们知道了身边有许多物体的面是三角形的，你们能在钉字板上围出一个三角形吗?各自围一围，同桌相互展示(如有困难，相互帮助)。然后在全班展示出不同形状的三角形。

你们能用6根同样长的小棒摆出一个三角形吗?摆好后小组相互评一评，推选出优秀代表展示。

(7)我们能用正方形纸对折成两个一样的三角形，一张长方形的纸，你也能折成的两个完全一样的三角形吗?拿出长方形纸折一折，比一比谁最聪明。

[评析：学生初步认识三角形后，让学生了解生活中也有三角形的存在，激发学生学习三角形的兴趣，再让学生在钉子板上围三角形、用小棒摆三角形、用长方形纸折三角形，既体现了具体到抽象的认知规律，又能循序渐进、层层深入地让学生认知三角形，了解三角形。]

(1)请小朋友们用剪刀把折成两个完全一样的三角形剪下来(师生同剪)。

你能用剪下来的两个完全一样的三角形拼出不一样的图形吗?

动手拼一拼，把拼成的不同图形贴在黑板上(可能拼出长方形、三角形、平行四边形)。

教师指着平行四边形问：你们认识它吗?它叫什么图形?让所有的小朋友都来拼一个平行四边形。

(2)出示各种平行四边形，让学生认一认，并沿着它们的边画在黑板上，让学生认一认，记一记它们的样子。

出示楼梯图片，让学生找一找图中的平行四边形，并用小手指一指，再让全班小朋友打开课本22页，同桌互相找一找篱笆、扶手图片中的平行四边形，比一比看谁找得多。

在钉子板上你们能围出平行四边形吗?动手围一围，同桌相互检查，相互帮助，再指名上台来围给大家看一看。

小朋友们围得真好，你们会用6根同样长的小棒摆出一个平行四边形吗?在书上第44页方格纸上画一画，选择几幅展示。

[评析：用学习三角形的方法学习平行四边形，有利于学生的知识迁移，起着潜移默化的作用，让学生主动探索新知，发展学生的思维能力。]

用两个完全一样的三角形能拼成几个不同形状的平行四边形?动手拼一拼，展示不同形状的平行四边形。

先让学生自由拼一拼，也可以小组讨论，把不同拼法贴到黑板上，再让学生认一认，记一记。

我们刚才拼出了许多形状的图形，下课后拼给同学看一看，回家后拼给爸爸妈妈看一看，好吗?

[总评：本课始终以操作为主线，面向全体，全员参与，让学生通过操作思考，小组讨论，主动探索新知识，充分体现了以学生为本，教师为组织者、引导者和合作者，使学生在玩中学，学中玩。既活跃了学生的思维，又调动了他们学习的积极性和主动性。让学生动手、动脑、动口，多种感官参与，教师又以比比谁最聪明看谁找得多等激励性的语言，调动学生学习的兴趣，使每位学生在学习过程中都有不同程度的发展。]