锐角三角函数3篇(尖锐角三角函数：深度解析与应用)

dopmitopy 2023-06-24

锐角三角函数是指正弦、余弦、正切等三角函数在尖角（即小于90度的角）上的取值。这些函数在数学、物理、工程等领域广泛应用，是计算机图形学、信号处理等领域必备的基础知识。

锐角三角函数3篇

第1篇

1，使学生了解本章所要解决的新问题是：已知直角三角形的一条边和另一个元素（一边或一锐角），求这个直角三角形的其他元素。

2，使学生了解“在直角三角形中，当锐角a取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。

2，如果直角三角形abc中∠c为直角，它的直角边是什么？斜边是什么？这个直角三角形可用什么记号来表示？

1，让学生阅读教科书第一页上的插图和引例，然后回答问题：

（1）这个有关测量的实际问题有什么特点？（有一个重要的测量点不可能到达）

（2）把这个实际问题转化为数学模型后，其图形是什么图形？（直角三角形）

（3）显然本例不能用勾股定理求解，那么能不能根据已知条件，在地面上或纸上画出另一个与它全等的直角三角形，并在这个全等图形上进行测量？（不一定能，因为斜边即水管的长度是一个较大的数值，这样做就需要较大面积的平地或纸张，再说画图也不方便。）

（4）这个实际问题可归结为怎样的数学问题？（在rt△abc中，已知锐角a和斜边求∠a的对边bc。）

但由于∠a不一定是特殊角，难以运用学过的定理来证明bc的长度，因此考虑能否通过式子变形和计算来求得bc的值。

2，在rt△abc中，∠c＝900，∠a＝300，不管三角尺大小如何，∠a的对边与斜边的比值都等于1/2，根据这个比值，已知斜边ab的长，就能算出∠a的对边bc的长。

类似地，在所有等腰的那块三角尺中，由勾股定理可得∠a的对边/斜边＝bc/ab＝bc/＝1/＝/2 这就是说，当∠a＝450时，∠a的对边与斜边的比值等于/2，根据这个比值，已知斜边ab的长，就能算出∠a的对边bc的长。

那么，当锐角a取其他固定值时，∠a的对边与斜边的比值能否也是一个固定值呢？

（引导学生回答;在这些直角三角形中，∠a的对边与斜边的比值仍是一个固定值。）

1，如果∠a＝600，那么∠b的对边与斜边的比值是多少？

2，如果∠a＝600，那么∠a的对边与斜边的比值是多少？

3，如果∠a＝300，那么∠b的对边与斜边的比值是多少？

4，如果∠a＝450，那么∠b的对边与斜边的比值是多少？

锐角三角函数3篇

第2篇

课程教材研究所左怀玲本章“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。

本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。本章重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sina、cosa、tana表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。

本章内容与已学 “相似三角形”“勾股定理”等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。

本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：

本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用。

在第28.1节 “锐角三角函数”中，教科书先研究了正弦函数，然后在正弦函数的基础上给出余弦函数和正切函数的概念。对于正弦函数，教科书首先设置了一个实际问题，把这个实际问题抽象成数学问题，就是在直角三角形中，已知一个锐角和这个锐角的对边求斜边的问题，由于这个锐角是一个特殊的角，因此可以利用“在直角三角形中，角所对的边是斜边的一半” 这个结论来解决这个问题，接下去教科书又提出问题，如果角所对的边的长度发生改变，那么斜边的长变为多少？解决这个的问题仍然需要利用上述结论，这样就能够使学生体会到“无论直角三角形的大小如何，角所对的边与斜边的比总是一个常数”，这里体现了函数的对应的思想，即的角对应数值。接下去，教科书又设置一个“思考”栏目，让学生进一步探讨在直角三角形中，的锐角所对的边与斜边的比有什么特点，利用勾股定理就可以发现这个比值也是一个常数，这样就使学生认识到“无论直角三角形的大小如何，角所对的边与斜边的比总是一个常数”，通过探讨上面这两个特殊的直角三角形，能够使学生感受到在直角三角形中，如果一个锐角的度数分别是和，那么它们所对的边与斜边的比分别都是常数，这里体现了函数的思想，这也为引出正弦函数的概念作好铺垫。有了上面这样的感受，会使学生自然地想到，在直角三角形中，一个锐角取其他一定的度数时，它的对边与斜边的比是否也是常数的问题。这样教科书就进入对一般情况的讨论。对于这个问题，教科书设置了一个“探究”栏目，让学生探究对于两个大小不等的直角三角形，如果有一个锐角对应相等，那么这两个相等的锐角所对的直角边与斜边的比是否相等，利用相似三角形对应边成比例这个结论就可以得到“在直角三角形中，当锐角的度数一定时，不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是一个固定值”，由此引出正弦函数的概念，这样引出正弦函数的概念，能够使学生充分感受到函数的思想，即在直角三角形中，一个锐角的每一个确定的值，sina都有唯一确定的值与它对应。在引出正弦函数的概念之后，教科书在一个“探究”栏目中，类比着正弦的概念，从边与边的比的角度提出一个开放性问题：在直角三角形中，当一个锐角确定时，这个角的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？提出这个问题的目的是要引出对余弦函数和正切函数的讨论。由于教科书比较详细地讨论了正弦函数的概念，因此对余弦函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式，具体的讨论由学生类比着正弦函数自己完成。在余弦函数和正切函数的概念给出之后，教科书在边注中分析了锐角三角函数的角与数值之间的对应关系，突出了函数的思想。一些特殊角的三角函数值是经常用到的，教科书借助于学生熟悉的两种三角尺研究了、角的正弦、余弦和正切值，并以例题的形式介绍了已知锐角三角函数值求锐角的问题，当然这时所要求出的角都是、和的特殊角。教科书把求特殊角的三角函数值和已知特殊角的三角函数值求角这两个相反方向的问题安排在一起，目的是体现锐角三角函数中角与函数值之间的对应关系。本节最后，教科书介绍了如何使用计算器求非特殊角的三角函数值以及如何根据三角函数值求对应的角等内容。由于不同的计算器操作步骤有所不同，教科书只就常见的情况进行介绍。

第28.2节“解直角三角形”是在第一节“锐角三角函数”的基础上研究解直角三角形的方法及其在实际中的应用。本节开始，教科书设计了一个实际背景，其中包括两个实际问题，这两个实际问题抽象成数学问题分别是已知直角三角形的一个锐角和斜边，求这个角的对边和已知直角三角形的一条直角边和斜边，求这两个边的夹角的问题，解决这两个问题需要用到第28.1节学习的有关正弦函数和余弦函数的内容。这两个问题实际上属于求解直角三角形的问题，设计这个实际问题的目的是要引出解直角三角形的内容。因此，教科书借助于这个实际问题背景，设计了一个“探究”栏目，要求学生探讨在直角三角形中，根据两个已知条件（其中至少有一个是边）求解直角三角形，最后教科书归纳给出求解直角三角形常用的反映三边关系的勾股定理，反映锐角之间关系的互余关系，以及反映边角之间关系的锐角三角函数关系。这样，教科书就结合实际问题背景，探讨了解直角三角形的内容。接下去，教科书又结合四个实际问题介绍了解直角三角形的理论在实际中的应用。第一个实际问题是章前引言中提到的确定比萨斜塔倾斜程度的问题，这个问题实际上是已知直角三角形的斜边和一个锐角的对边，求这个锐角的问题，这要用到正弦函数；第二个问题是确定神舟5号变轨后，所能看到地面的最长距离，这个问题实际上是已知直角三角形的斜边和一个锐角的邻边，求这个锐角的问题，这要用到余弦函数；第三个问题是确定楼房高度的问题，这个问题抽象成数学问题是已知直角三角形的一个锐角和它的邻边，求这个角的对边，这要用到正切函数；第四个实际问题是在航海中确定轮船距离灯塔的距离，解决这个问题需要反复利用正弦函数。这样教科书就通过四个实际问题体现了正弦、余弦和正切这几个锐角三角函数在解决实际问题中的作用。本节最后，教科书采用将测量大坝的高度与测量山的高度相对比的方式，直观形象地介绍了“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的微积分的基本思想。

1. 了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sina 、cos a、tana表示直角三角形中两边的比；记忆、的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；

2. 能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；

3. 理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；

4. 通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受。

本章主要包括锐角三角函数和解直角三角形两大块内容，这两大块内容是紧密联系的。锐角三角函数是解直角三角形的基础，解直角三角形的理论又为解决一些实际问题提供了强硬有力的工具，解直角三角形为锐角三角函数提供了与实际紧密联系的沃土。因此本章编写时，加强了锐角三角函数与解直角三角形两大块内容与实际的联系。例如，在章前引言中利用确定山坡上所铺设的水管的长度问题引出正弦函数；结合使用梯子攀登墙面问题引出解直角三角形的概念和方法等。再有，教科书利用背景丰富有趣的四个实际问题，从不同的角度展示了解直角三角形在实际中的广泛应用。教科书这样将锐角三角函数和解直角三角形的内容与实际问题紧密联系，形成“你中有我，我中有你”的格局，一方面可以让学生体会锐角三角函数和解直角三角形的理论来源于实际，是实际的需要，另一方面也让学生看到它们在解决实际问题中所起的作用，感受由实际问题抽象出数学问题，通过解决数学问题得到数学问题的答案，再将数学问题的答案回到实际问题的这种实践----理论----实践的认识过程，这个认识过程符合人的认知规律，有利于调动学生学习数学的积极性，丰富有趣的实际问题也能够激发学生的学习兴趣。

本章编写时一方面继续保持原有的通过设置“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”等栏目来扩大学生探索交流的空间，发展学生的思维能力，同时结合本章内容的特点，又考虑到学生的年龄特征（学习本章内容的学生已经是九年级），对于本章的一些结论，教科书采用了先设置一些探究性活动栏目，然后直接给出结论的做法，而将数学结论的探索过程完全留给学生，不像前两个年级那样，将这些探究过程通过填空或留白等方式展示探索过程来引导学生进行探究。例如，教科书在详细研究了正弦函数，给出正弦函数的概念之后，设置了一个“探究”栏目，并提出问题“在直角三角形中，当一个锐角确定时，它的对边与斜边的比就随之确定，那么，此时其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？”，接下去，教科书直接给出了余弦函数和正切函数的概念，而将“邻边与斜边的比、对边与邻边的比也分别是确定的”这个结论的探究过程完全留给学生自己完成。再如，对于、这几个特殊角的三角函数值，教科书也是首先设置一个“思考”栏目，在栏目中提出问题“两块三角尺中有几个不同的锐角，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值”，然后教科书用一个表格直接给出了这几个特殊角的三角函数值，而将这些角的三角函数值的求解过程留给学生完成。这样的一种编写方式就为学生提供了更加广阔的探索空间，开阔思路，发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式.

本章的一个教学目标是使学生理解锐角三角函数的概念，这个概念与学生以前所学的一次函数、反比例函数和二次函数有所不同，它反映的不是数值与数值的对应关系，而是角度与数值之间的对应关系，学生初次接触这种对应关系，理解起来有一定的困难，而这种对应关系对学生深刻地理解函数的概念又有很大帮助，因此，教科书针对这种情况，加强了对锐角三角函数所反映的角度与数值之间的对应关系的刻画。例如，对于正弦函数，教科书首先研究了在直角三角形中，和的锐角所对的边与斜边的比分别是常数和，然后就一般情况进行研究，并得出结论：当一个锐角的度数一定时，这个角的对边与斜边的比也是一个常数，这样就突出了锐角与比值的对应关系，即对于每一个锐角，都有一个比值与之对应，从而给出正弦函数的定义。同样，教科书在阐述余弦函数和正切函数时也突出了锐角与“邻边与斜边的比值”之间的对应关系以及锐角与“对边和邻边的比值”之间的对应关系，并在边注进一步强调了这种函数关系：对于锐角a的每一个确定的值，sina有唯一确定的值与它对应，所以sina是a的函数。同样地，cosa，tana也是a的函数。这样，就可以让学生对变量的性质以及变量之间的对应关系有更深刻的认识，加深对函数概念的理解。

微积分的思想在数学中占有重要的地位，其基本思想是“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”，这个基本思想是很朴素的，是可以在初等数学中反映的。教科书在本章最后，结合解直角三角形的内容，采用与测量大坝的高度和测量山的高度相对比的方式，直观形象地介绍了在确定山的高度时，如何将山坡“化整为零”，如何将山坡的长度“化曲为直、以直代曲”，又如何将每一部分的高度“积零为整”，这样编写的目的是要体现微积分的基本思想，让学生通过直观形象的例子对微积分的基本思想有一个初步的认识。综上所述，本章编写时注意突出数学内容的本质，强调数学思想方法，这有助于提高学生的数学素养。

第27章“相似”为本章研究锐角三角函数打下基础，因为利用“相似三角形的对应边成比例”可以解释锐角三角函数定义的合理性。例如，教科书在研究正弦函数的概念时，利用了“在直角三角形中，所对的边等于斜边的一半”，得出了“在一个直角三角形中，如果一个锐角等于，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于”。事实上，在直角三角形中，如果一个角等于，那么这样的直角三角形都相似，因此，不管这样的三角形的大小如何，它们的对应边成比例，这也就是说，对于，虽然教科书是从两个特殊的直角三角形（的对边分别是70和50）归纳得到的，但这个结论是可以从三角形相似的角度来解释的。同样，对于有类似的情况。当然，教科书利用相似三角形的有关结论解释了在一般情形中正弦定义的合理性。因此，锐角三角函数的内容与相似三角形是密切联系的，教学中要注意加强两者之间的联系。

全等三角形的有关理论对理解本章内容有积极的作用。例如，在研究解直角三角形时，教科书通过探索得到结论：事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果在知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就确定下来了，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素，这个结论的获得实际上利用了直角三角形全等的有关理论，因为对于两个直角三角形，如果已知两个元素对应相等，并且其中有一个元素是边，那么这两个直角三角形全等，也就是已知一个直角三角形的除直角外的两个元素，其中至少有一个是边，这个三角形就确定下来，因此就可以利用这两个元素求出其余的元素。因此，利用三角形全等的理论，有利于理解解直角三角形的相关内容。教学中要注意加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移。

另外，本章所研究的锐角三角函数反映了锐角与数值之间的函数关系，这虽然与一次函数、反比例函数以及二次函数所反映的数值与数值之间的对应关系有所不同，但它们都反映了变量之间的对应关系，本质上是一致的，因此教学时，要注意让学生体会这些不同函数之间的共同特征，更好地理解函数的概念。

数形结合是重要的数学思想和数学方法，本章内容又是数形结合的很理想的材料。例如，对于锐角三角函数的概念，教科书是利用学生对直角三角形的认识（在直角三角形中，所对的边等于斜边的一半，的直角三角形是等腰直角三角形）以及相似三角形的有关知识引入的，结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质。再比如，解直角三角形在实际中有着广泛的作用，在将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角等的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决。因此在本章教学时，要注意加强数形结合，在引入概念、推理论述、化简计算、解决实际问题时，都要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、角之间的关系，加深对直角三角形本质的理解

第3篇

1. 通过观察、猜想、比较、具体操作等数学活动，学会用计算器求一个锐角的三角函数值。

2.经历利用三角函数知识解决实际问题的过程，促进观察、分析、归纳、交流等能力的发展。

3.感受数学与生活的密切联系，丰富数学学习的成功体验，激发学生继续学习的好奇心，培养学生与他人合作交流的意识。

在生活中，我们会经常遇到这样的问题，如测量建筑物的高度、测量江河的宽度、船舶的定位等，要解决这样的问题，往往要应用到三角函数知识。在上节课中已经学习了30°， 45°，60°角的三角函数值，可以进行一些特定情况下的计算，但是生活中的问题，仅仅依靠这三个特殊角度的三角函数值来解决是不可能的。本节课让学生使用计算器求三角函数值，让他们从繁重的计算中解脱出来，体验发现并提出问题、分析问题、探究解决方法直至最终解决问题的过程。

九年级的学生年龄一般在15岁左右，在这个阶段，学生以抽象逻辑思维为主要发展趋势，但在很大程度上，学生仍然要依靠具体的经验材料和操作活动来理解抽象的逻辑关系。另外，计算器的使用可以极大减轻学生的负担。因此，依据教材中提供的背景材料，辅以计算器的使用，可以使学生更好地解决问题。

学生自小学起就开始使用计算器，对计算器的操作比较熟悉。同时，在前面的课程中学生已经学习了锐角三角函数的定义，30°，45°，60°角的三角函数值以及与它们相关的简单计算，具备了学习本节课的知识和技能。

1.梯子靠在墙上，如果梯子与地面的夹角为60°，梯子的长度为3米，那么梯子底端到墙的距离有几米?

1如图1，当登山缆车的吊箱经过点a到达点b时，它走过了200 m。已知缆车的路线与平面的夹角为∠a＝16 °，那么缆车垂直上升的距离是多少?

你知道sin 16°是多少吗?我们可以借助科学计算器求锐角三角形的三角函数值。那么，怎样用科学计算器求三角函数呢?

用科学计算器求三角函数值，要用sin cos和tan键。教师活动：(1)展示下表；(2)按表口述，让学生学会求sin16°的值。按键顺序显示结果sin 16°sin16=sin 16°=0275 637 355

学生活动：类比求sin 16°的方法，通过猜想、讨论、相互学习，利用计算器求相应的三角函数值(操作程序如下表)：

按键顺序显示结果cos 42°cos42 =cos 42°=0743 144 825tan 85°tan85=tan 85°=11430 052 3sin 72°38′25″sin72d′m′s

说明：利用学生的学习兴趣，巩固用计算器求三角函数值的操作方法。

师：在本节一开始的问题中，当缆车继续由点b到达点d时，它又走过了 200 m，缆车由点b到达点d的行驶路线与水平面的夹角为∠β＝42°，由此你还能计算什么?

学生活动：(1)可以求出第二次上升的垂直距离de，两次上升的垂直距离之和，两次经过的水平距离，等等。(2)互相补充并在这个过程中加深对三角函数的认识。

1.一个人由山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300 m，再爬30°的山坡100 m，求山高(结果精确到0.1 m)。